das nächste thema was wir uns anschauen wollen ist nullstellen suchen

zum beispiel können wir uns hier diese funktion anschauen, i hoch x plus x die sieht

ungefähr so aus, also i hoch x und plus x, also naja, sagen wir mal so ungefähr und die frage ist

wo liegt diese nullstelle hier? jetzt kann man hier versuchen umzuprobieren

ob man das auflösen kann und das wird ihnen nicht gelingen das heißt es gibt

klar sehr einfach hinschreibbare funktionen so wie diese hier wo man nicht

sagen kann was die nullstelle ist zumindest nicht analytisch, wir kriegen keine formel

dafür hin. aber manchmal muss man eben doch wissen wo nullstellen sind, das heißt man muss

verfahren sich überlegen wie man also für nicht die gleichung nicht explizit

analytisch umstellbar sind zum beispiel solche nullstellen probleme zu lösen

jetzt das allgemeine nullstellenproblem ist eine gleichung der form f von x gleich null zu lösen

wobei f aber nicht genial ist und in diesem fall gibt es eben kein allgemeines

verfahren was einem eine exakte lösung liefert. jetzt gibt es verfahren die einem

eine näherungslösung liefern zum beispiel also manchmal gibt es eben doch

richtige verfahren die das dann exakt lösen also wenn f von x jetzt zwar nicht linear ist

aber viel linear dann können wir das hier explizit umschreiben und x ist

gleich minus b durch a hier in dem fall ist eine lösung zum beispiel und für

quadratische funktionen die sind ja auch nicht linear aber dennoch ist für

quadratische funktion also für polynomial 2 grades gibt es exzit im

lösungsformeln die man anwenden kann und es gibt entweder keine lösung eine lösung

oder zwei lösungen das haben sie sicherlich schon im letzten semester ausführlich gemacht

aber für polynomial von grad größer kann man da nicht mehr so viel machen grad 3 und grad 4

da gibt es noch dinge die sind aber ziemlich kompliziert man muss dann auf jeden fall die

komplexen zahlen und ich habe es ehrlich gesagt in meinem leben auch nie gebraucht bevor man sich

mit diesen lösungsformeln von grad 3 und grad 4 rumschlägt ist es ehrlich gesagt einfacher das

ganze mit dem näherungsverfahren zu wissen und wer grad 5 oder größer da ist beweisbar dass es

keine allgemeine lösungsformel gibt das heißt für die riesige viel größere klasse von nicht

ihren funktionen die nicht in diese wenigen spezialfälle reinfallen wo man eine lösung mit

einer formel angeben kann brauchen wir irgendein näherungsverfahren was einem da eine ungefähr

und es gibt das einzigste ist das einfachste was ich vorstellen kann ist das bisektionsverfahren

oder intervall halbierungsverfahren muss jetzt folgende wasen also die funktionen die macht

es hier irgendwas zum beispiel so aus mit wollen gern diesen punkt hier finden wir suchen zuerst

ein punkt mit f von a plus 0 und ein b mit f von b kleiner jetzt habe ich es gerade noch falsch

gemacht in der skizze ich mache es noch mal kurz anders rum damit es dann passt zum text hier also

hier so ein b und jetzt wissen wir dass nach dem zwischenwärtsatz eine nullstelle in diesem bereich

irgendwo muss eine nullstelle in diesem intervall drin liegen jetzt schauen wir uns genau die hälfte

an a plus b halbe das liegt hier wenn der wert positiv ist dann liegt die nullstelle in der

einhälfte wenn der wird negativ ist dann liegt in der anderen hälfte hier in dem fall ist es

negativ das heißt wir wissen aha jetzt ist in dem intervall a a plus b halbe eine nullstelle also

machen wir halbieren wir das ganze wieder a plus a plus b halbe was ist das a plus a plus b halbe

halbe naja kann man jetzt noch ein bisschen auflösen wenn man möchte aber im nächsten

nicht ist es auch völlig egal jetzt immer wieder größer das heißt wir wissen okay jetzt liegt es

nicht im kleiner intervall und so kann man sukzessive dieses halb dieses intervall halbieren

halbieren halbieren und weil auch die intervalllänge sich immer halbiert bewegt das ganze auch gar nicht

mal so schlecht also kann man zumindest für eine reellwertige funktion oder eine funktion die auf

einem auf dem in den zahlen definiert ist damit ganz gut nullstellen suchen also zum beispiel

wurzel 3 als nullstelle von x quadrat minus 3 intervall 1 2 also machen wir noch mal hier diese

funktion natürlich ist es jetzt so ein fall wo wir eigentlich wirklich nicht irgendwas machen

müssen weil wir eine form haben aber sei es drum das ist diese funktion hier und wir nehmen zum

beispiel mal a also dass f von a kleiner oder so das f und b größer oder was besser zusammenpasst